【Hacker News搬运】Navier-Stokes问题的一个正则哈密顿公式

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Title: A canonical Hamiltonian formulation of the Navier–Stokes problem

Navier-Stokes问题的一个正则哈密顿公式

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Url: https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/canonical-hamiltonian-formulation-of-the-navierstokes-problem/B3EB9389AE700867A6A3EA63A45E69C6

这篇研究论文提出了一种用于描述粘性流体运动的纳维-斯托克斯问题的典型哈密顿形式。作者解释说，虽然粘性流体是一个非哈密尔顿系统，但可以通过考虑数学上等价的高阶问题来找到一个哈密顿形式。论文提供了这种方法的简单示例，然后将其应用于各向同性的纳维-斯托克斯问题。论文的主要结果是一个满足哈密顿方程的二级问题的守恒哈密顿函数，以及伴随的哈密顿-雅可比方程。作者还讨论了二级形式的物理解释，并进行了一个简短的案例研究。论文最后讨论了这种形式如何有助于解决纳维-斯托克斯问题的存在性和唯一性问题。

纳维-斯托克斯方程描述了粘性流体的行为，是科学和工程中的一项挑战。虽然人们一直对使用分析力学和哈密顿形式解决流体力学问题感兴趣，但纳维-斯托克斯方程是非保守的，不能从经典作用原理导出。近年来，高阶理论已应用于经典流体，并已证明高阶动力学本质上是变分的，允许非哈密尔顿问题作为哈密尔顿问题处理。这导致了两个应用：阻尼动力系统的直接模态分析和计算阻尼系统共振频率的新算法。本文旨在提供纳维-斯托克斯问题的典型哈密顿形式。作者从可压缩形式的方程出发，导出了二级形式，这使得可以使用哈密顿和哈密顿-雅可比形式主义。他们还讨论了问题的拉格朗日形式和欧拉-拉格朗日方程。

本文提出了流体动力学的二级形式，数学上与一级形式等价，但需要额外的辅助条件。导出了欧拉-拉格朗日方程，并显示其由一级形式的解自动满足。还提出了问题的哈密顿形式，通过拉格朗日密度 Legendre 变换得到哈密顿密度。使用哈密顿方程来表示场和共轭动量，并讨论了自然边界条件。实际运动是二级形式的自然演变，共轭动量被解释为通过边界的向量流。

文章为流体动力学的纳维-斯托克斯方程提出了一个哈密顿形式，这涉及识别共轭动量和构建哈密顿密度。结果的哈密顿方程再现了原始场方程，并且证明了这个形式是合法的。文章还讨论了哈密顿-雅可比方程及其与纳维-斯托克斯问题的关系，提供了定性解释。还讨论了欧拉-拉格朗日方程的可压缩形式，最后指出在无粘极限下，哈密顿形式仍然是好的。

本文为流体动力学的纳维-斯托克斯问题提出了一个二级时间、四级空间的哈密顿形式。方法涉及找到一个规范变换到一组新坐标，给出速度和压力场的解析表达式。论文建议解决哈密顿-雅可比方程或调查相应的拉格朗日形式作为求解的潜在途径。所使用的技术不仅适用于纳维-斯托克斯问题，还可以应用于其他非哈密尔顿动力系统。

Post by: Anon84

Comments:

jackhalford: The Hamiltonian formulation of classical mechanics is such a beautiful way of describing classical motion compared to the Newtonian formulation. See Laundau & Lifschitz book 1! All the Hamilton-Jacobi equations are derived from observing symmetries in space time, even Newton’s 3 principles are derived (F=ma an the rest). All of this has the added benefit of transposing well into quantum mechanics, where forces are anyway replaced with hamiltonians.<p>For fluid mechanics I don’t know if Hamiltonians are the right formulation.

jackhalford: 与牛顿公式相比，经典力学的哈密顿公式是描述经典运动的一种很好的方式。参见Laundau&amp；Lifschitz第1本书！所有的Hamilton-Jacobi方程都是从时空对称性的观测中导出的，甚至导出了牛顿的3个原理（F=ma和其他原理）。所有这些都有一个额外的好处，那就是很好地转换到量子力学中，在量子力学中力无论如何都被哈密顿量所取代<p> 对于流体力学，我不知道哈密顿量是否是正确的公式。

mikewarot: Does this result mean that aerodynamic simulation can be made far less compute intensive, like I think it does?<p>This could be as useful as Feynman diagrams are to physics calculations.

mikewarot: 这个结果是否意味着空气动力学模拟可以像我认为的那样大大减少计算密集度<p> 这可能和费曼图对物理计算一样有用。

abnry: I have no clue about this paper. Only comment is that this was published April 1st.

abnry: 我对这篇论文一无所知。唯一的评论是这篇文章发表于4月1日。

nextworddev: For a second I thought they solved it

nextworddev: 有一秒钟我以为他们解决了

tekla: Haha, great paper. I read the title and the abstract and went WTF?!?<p>> Given the title of this paper, it is incumbent on the authors to assure the reader that we do not claim to have done the impossible<p>Awesome. Though I have no clue what the Hamiltonian formulation is.

tekla: 哈哈，很棒的纸。我读了标题和摘要，然后去了WTF<p> &gt；鉴于这篇论文的标题，作者有责任向读者保证，我们并没有声称做了不可能的事情。虽然我不知道哈密顿公式是什么。